対数とは何か：「何回かけるか」から身近な使い道まで

対数は「何回かけるか」を表す数

2を3回かけると8になります（2³ ＝ 8）。この関係を逆から見て、「2を何回かけると8になるか」と問うたときの答え「3」が対数です。記号では log₂8 ＝ 3 と書き、2を底（てい）、8を真数といいます。

log₂32 ＝ 5（2を5回かけると32）
log₃81 ＝ 4（3を4回かけると81）
log₁₀1000 ＝ 3（10を3回かけると1000）
log₂1 ＝ 0（0回かける、つまり2⁰ ＝ 1）
log₂0.5 ＝ −1（2^-1 ＝ 1/2 ＝ 0.5）

対数は整数になるとは限りません。log₂10 は、2³ ＝ 8 と 2⁴ ＝ 16 の間なので3と4の間の数で、約3.32です。「2を3.32回かける」というのは不思議に聞こえますが、累乗を小数の指数にまで広げて考えたもので、2の3.32乗がほぼ10になる、という意味です。対数は累乗の逆の計算、と覚えておけば十分です。

常用対数と自然対数

よく使われる対数は2種類あります。電卓のキーも2つに分かれています。

常用対数（log）：底が10の対数。log 1000 ＝ 3 のように、数の桁と結びついています。
自然対数（ln）：底が e（約2.71828）の対数。ものが自然に増えたり減ったりするようすを表す式によく現れ、微分・積分の計算が簡単になるため、理科や数学で広く使われます。

x	log x（常用対数）	ln x（自然対数）
1	0	0
2	約0.3010	約0.6931
3	約0.4771	約1.0986
10	1	約2.3026
100	2	約4.6052

常用対数で桁数がわかる

1以上の数Nの桁数は、log N の整数部分に1を足した数です。2²⁰ ＝ 1,048,576 なら、log 2²⁰ ＝ 20 × 0.30103 ＝ 6.02… なので、6 ＋ 1 ＝ 7桁です。2¹⁰⁰ は実際に計算すると電卓の画面に収まりませんが、100 × 0.30103 ＝ 30.103 から、31桁の数だとわかります。

対数の法則

対数には、計算を楽にする4つの法則があります（底は同じものとします）。

log(a × b) ＝ log a ＋ log b（かけ算がたし算になる）
log(a ÷ b) ＝ log a − log b（わり算がひき算になる）
log(aⁿ) ＝ n × log a（累乗がかけ算になる）
log 1 ＝ 0、底と同じ数の対数は1

log 2 ≒ 0.3010 と log 3 ≒ 0.4771 だけを知っていれば、ほかの値も出せます。log 6 ＝ log 2 ＋ log 3 ≒ 0.7781、log 5 ＝ log(10 ÷ 2) ＝ 1 − 0.3010 ＝ 0.6990、log 8 ＝ 3 × log 2 ≒ 0.9031 です。かけ算をたし算に置き換えられるこの性質のおかげで、電卓のない時代には、対数表や計算尺を使って天文学などの大きな数の計算が行われていました。

底の変換：電卓にないlogを計算する

電卓には log（底10）と ln（底e）しかないことがほとんどです。ほかの底の対数は、次の式で求めます。

logₐb ＝ log b ÷ log a（log の代わりに ln を使っても同じ答え）

log₃81 なら、log 81 ÷ log 3 ＝ 1.9085 ÷ 0.4771 ≒ 4 です。log₂1000 なら 3 ÷ 0.30103 ≒ 9.97 で、「2を約10回かけると1000くらいになる」ことがわかります（実際、2¹⁰ ＝ 1024）。関数電卓では「log(81)÷log(3)」のように、それぞれをかっこで区切って入力します。log と ln のキーの違いは関数電卓ガイドでも説明しています。

身近な対数①：地震のマグニチュード

地震の規模を表すマグニチュード（M）は、地震のエネルギーを対数で表したものです。マグニチュードが1大きくなると、エネルギーは約31.6倍（10の1.5乗）になります。2大きくなると 31.6 × 31.6 ≒ 1000倍、0.2大きくなるだけでも約2倍です。M7の地震は、M5の地震のおよそ1000倍のエネルギーを持つことになります。なお、ある場所での揺れの強さを表す「震度」は、マグニチュードとは別のものです。

身近な対数②：デシベル（dB）

音の強さを表すデシベルも対数の目盛りです。音の強さ（エネルギー）が10倍になると、10デシベル上がります。100倍なら20デシベル、1000倍なら30デシベル上がります。

強さが2倍になったときは、10 × log 2 ≒ 3デシベルの増加です。そのため、60デシベルの同じ音が2つ同時に鳴っても、120デシベルにはならず、約63デシベルになります。デシベルの値は、単純に足し算できない点に注意が必要です。

身近な対数③：pH（ペーハー、ピーエイチ）

水溶液の酸性・アルカリ性を表すpHは、水素イオンの濃度の常用対数にマイナスを付けた値です。pH7の水溶液では、水素イオンの濃度が 10^-7 mol/L です。pHが1小さくなると、水素イオンの濃度は10倍になります。pH3の水溶液は、pH5の水溶液と比べて水素イオンの濃度が 10 × 10 ＝ 100倍です。目盛りの差が2でも、中身の差は100倍もあるのです。

身近な対数④：一定の割合で増えて2倍になるまで

人口や利用者数、複利の計算など、毎回同じ割合で増えるものが2倍になるまでの回数は、対数で求められます。毎回 r の割合で増えるとき、(1 ＋ r)ⁿ ＝ 2 を満たす n は、次の式で出せます。

n ＝ log 2 ÷ log(1 ＋ r)

毎回5％ずつ増えるなら、log 2 ÷ log 1.05 ＝ 0.30103 ÷ 0.02119 ≒ 14.2回です。確かめると、1.05¹⁴ ≒ 1.98、1.05¹⁵ ≒ 2.08 で、14回と15回の間で2倍を超えます。暗算の目安として「72 ÷ 増える割合（％）」で近い値が出ることも知られています（72の法則）。

毎回増える割合	対数で求めた回数	72 ÷ 割合
1％	約69.7回	72回
2％	約35.0回	36回
3％	約23.4回	24回
5％	約14.2回	14.4回
7％	約10.2回	約10.3回
10％	約7.3回	7.2回

減る場合も同じ考え方です。毎回10％ずつ減るものが半分になるまでは、log 0.5 ÷ log 0.9 ≒ 6.6回です。これは計算上の数字であり、現実の数が毎回同じ割合で増えたり減ったりし続けるとは限りません。割合の変化の考え方は増減率ガイドで説明しています。

よくある間違い

log(a ＋ b) を log a ＋ log b とする：たし算になるのは、真数がかけ算のときだけです。
0や負の数の対数を求めようとする：何回かけても0や負の数にはならないので、対数は定義されません。電卓ではエラーになります。
log と ln を取り違える：log 1000 は 3、ln 1000 は約6.908です。
log(x²) と (log x)² を混同する：x ＝ 1000 なら、log(1000²) ＝ 6、(log 1000)² ＝ 9 です。
デシベルやマグニチュードを普通の数のように扱う：目盛りが1つちがうだけで、もとの量は何倍もちがいます。

よくある質問

対数は、何の役に立つのですか？
1と1億のように大きさが極端にちがう量を、同じ目盛りの上で扱いやすくしてくれます。地震や音、pHのほか、星の明るさなど、さまざまな分野で使われています。

log 0 はいくつですか？
定義されません。真数を0に近づけていくと、対数はいくらでも小さく（マイナスの方向に大きく）なっていきます。

電卓に log₂ のキーがないときは？
底の変換を使い、log(x) ÷ log(2) と入力します。ln(x) ÷ ln(2) でも同じ答えになります。

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