分数・小数・百分率を自由に行き来する方法

3つの表し方は、同じ大きさの別の書き方

3/4、0.75、75％は、どれも同じ大きさを表しています。場面によって使いやすい形がちがうだけです。料理や工作では分数、測定や電卓では小数、割合を比べるときは百分率がよく使われます。変換の方法は次のとおりです。

変換	方法	例
分数 → 小数	分子 ÷ 分母	5/8 ＝ 5 ÷ 8 ＝ 0.625
小数 → 百分率	× 100	0.625 → 62.5％
百分率 → 小数	÷ 100	28％ → 0.28
小数 → 分数	10、100、1000…を分母にして約分	0.625 ＝ 625/1000 ＝ 5/8
百分率 → 分数	100を分母にして約分	35％＝ 35/100 ＝ 7/20

小数を分数にするときは、小数点以下の桁数で分母を決めます。0.625は小数第3位まであるので分母は1000、625と1000を最大公約数の125で割って 5/8 です。整数部分がある 2.4 なら、24/10 ＝ 12/5、帯分数にすれば 2と2/5 になります。12.5％のように小数を含む百分率は、まず 0.125 に直してから 125/1000 ＝ 1/8 とすると簡単です。

分数電卓では、分数の計算結果を帯分数と小数の両方で表示できます。分数の四則計算そのものは分数の計算ガイドで説明しています。

割り切れる分数の見分け方

分数を小数にすると、0.625 のように終わるもの（有限小数）と、0.333… のように終わらないものがあります。どちらになるかは、計算しなくても分母を見ればわかります。

約分したあとの分母を素因数に分けて、2と5しか出てこなければ割り切れるというのがその見分け方です。10 ＝ 2 × 5 なので、分母が2と5だけでできていれば、分子と分母に同じ数をかけて分母を10、100、1000…にそろえられるからです。7/40 なら、40 ＝ 2 × 2 × 2 × 5 なので、分子と分母に25をかけて 175/1000 ＝ 0.175 と割り切れます。

分数	分母の素因数	小数
9/16	2 × 2 × 2 × 2	0.5625（割り切れる）
7/40	2 × 2 × 2 × 5	0.175（割り切れる）
1/25	5 × 5	0.04（割り切れる）
4/15	3 × 5	0.2666…（割り切れない）
5/12	2 × 2 × 3	0.41666…（割り切れない）

小数の桁数も、分母からわかります。分母に含まれる2の個数と5の個数のうち、多いほうが小数の桁数です。1/16 は2が4個なので4桁で 0.0625、1/40 は2が3個・5が1個なので3桁で 0.025 になります。

注意したいのは、必ず約分してから分母を見ることです。3/12 は分母に3が含まれていますが、約分すると 1/4 になるので、0.25 と割り切れます。

循環小数：同じ数字のくり返し

割り切れない分数を小数にすると、ある部分から先は同じ数字の並びがくり返されます。これを循環小数といい、くり返す部分の最初と最後の数字の上に点を付けて表します。

1/3 ＝ 0.333…（3がくり返す）
1/6 ＝ 0.1666…（1のあと、6がくり返す）
1/11 ＝ 0.0909…（09がくり返す）
1/7 ＝ 0.142857142857…（142857がくり返す）

なぜ必ずくり返すのでしょうか。1 ÷ 7 を筆算で進めると、あまりは 3、2、6、4、5、1 と出てきて、あまりが1に戻ったところで最初と同じ計算が始まります。7で割ったあまりは1から6の6種類しかないので、遅くとも6回のうちに同じあまりが現れ、そこから先は同じ数字の並びになるのです。おもしろいことに、2/7 ＝ 0.285714…、3/7 ＝ 0.428571… のように、7分の何かはどれも同じ6つの数字を、始まる位置だけ変えてくり返します。

循環小数を分数に直す

循環小数は、すべて分数で表せます。くり返す部分を引き算で消すのがコツです。

例1：0.333… を分数に

x ＝ 0.333… とすると、10x ＝ 3.333… です。下から上を引くと、小数点以下の3の列が消えて 9x ＝ 3、x ＝ 3/9 ＝ 1/3 です。

例2：0.272727… を分数に

くり返しが2桁なので、100倍します。100x ＝ 27.2727…、x ＝ 0.2727… を引いて 99x ＝ 27、x ＝ 27/99 ＝ 3/11 です。

例3：0.1666… を分数に

くり返しの前に「1」があるので、2段階にします。10x ＝ 1.666…、100x ＝ 16.666… で、100x − 10x ＝ 15、つまり 90x ＝ 15、x ＝ 15/90 ＝ 1/6 です。

小数点のすぐあとからくり返しが始まる場合は、くり返す部分を、同じ桁数の9を並べた数で割るという近道もあります。0.4545… ＝ 45/99 ＝ 5/11、0.123123… ＝ 123/999 ＝ 41/333、0.142857142857… ＝ 142857/999999 ＝ 1/7 です。この方法で 0.999… を考えると 9/9 ＝ 1 となり、0.999… は1とちょうど等しいことがわかります。

よく使う値の一覧

分数	小数	百分率
1/2	0.5	50％
1/3	0.333…	約33.3％
2/3	0.666…	約66.7％
1/4	0.25	25％
3/4	0.75	75％
1/5	0.2	20％
1/6	0.1666…	約16.7％
1/8	0.125	12.5％
5/8	0.625	62.5％
7/8	0.875	87.5％
1/9	0.111…	約11.1％
1/12	0.08333…	約8.3％
1/16	0.0625	6.25％
1/20	0.05	5％

1/8 の仲間（3/8 ＝ 0.375、5/8 ＝ 0.625、7/8 ＝ 0.875）は 0.125 ずつ増えていく、9分の何かは 2/9 ＝ 0.222… のように分子の数字がくり返す、といった規則を知っておくと、表を丸暗記しなくても思い出せます。百分率の計算はパーセント計算ガイドも参考にしてください。

電卓の小数と、本当の値

電卓で 1 ÷ 3 を計算すると、画面には 0.333333333333 のように決まった桁数だけが表示されます。これは 1/3 の近い値であって、1/3 そのものではありません。ふだんは気にしなくてよい差ですが、途中で 0.33 のように短く丸めてから計算を続けると、0.33 × 3 ＝ 0.99 となって 1 に戻らなくなります。割り切れない数を含む計算は、できるだけ分数のまま進め、最後に小数に直すのが安全です。丸めの誤差については四捨五入のガイドでくわしく説明しています。

よくある間違い

約分する前に分母を見る：3/12 は約分すると 1/4 で、割り切れます。
33％を 1/3 と同じだと思う：33％は 33/100 で、1/3（33.333…％）とは少しちがいます。
百分率を分数にするとき100で割り忘れる：35％は 35 ではなく 35/100 ＝ 7/20 です。
途中から循環する小数を、近道の式で直す：0.1666… を 16/99 としてしまうのは誤りです。くり返しの前に数字がある場合は、2段階の引き算で求めます。

よくある質問

0.999… は本当に1と同じですか？
同じです。1/3 ＝ 0.333… の両辺を3倍すると、1 ＝ 0.999… になることからも確かめられます。

円周率（π）も循環小数ですか？
いいえ。円周率や √2 は、小数がどこまでも続き、しかも同じ並びをくり返さない数で、分数では表せません。22/7 ＝ 3.142857… は円周率に近い分数ですが、円周率そのものではありません。

分数・小数・百分率のどれで答えればよいですか？
指示があればそれに従います。指示がなければ、割り切れない数は分数、測定値は小数、割合の比較は百分率が伝わりやすい形です。

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